Chapter 5 Quadratic Equations Question and Answers Class 10 Mathematics

ICSE Solutions for Chapter 5 Quadratic Equations Class 10 Mathematics

Question 1:  Solve: (2x/x – 3) + (1/2x + 3) + {(3x + 9)/(x - 3)(2x + 3)} = 0; x ≠ 3, x ≠ -3/2

Solution 1:
(2x/x – 3) + 1/(2x + 3) + {(3x + 9)(x + 3)(2x + 3)} = 0; x ≠ 3, x ≠ -3/2
⇒ {2x(2x + 3) + 1(x - 3) + 3x + 9}/{(x – 3)(2x + 3)} =  0
⇒ 4x² + 6x + x – 3 + 3x + 9 = 0
⇒ 4x² + 10x + 6 = 0
⇒ 4x²  + 4x + 6x + 6 = 0
⇒ 4x(x + 1) + 6(x + 1) =  0
⇒ (x + 1)(4x + 6) = 0
⇒ x + 1 = 0  or  4x + 6 = 0
⇒ x = -1 or x = -6/4 = -3/2(reject)

Question 2: Solve: (2x + 3)² = 81 

Solution 2: 
(2x + 3)² = 81
⇒ 2x + 3 = ±9
⇒ 2x + 3 = 9 and 2x + 3 = -9
⇒ 2x = 6 and 2x = -12
⇒ x = 3 and  x = -6

Question 3: Solve: a²x² - b² = 0 

Solution 3: a²x² - b² = 0
⇒ (ax)² - b² = 0
⇒ (ax + b)(ax - b) = 0
If ax + b = 0 and  ax – b = 0
then x = -b/a and x = b/a

Question 4: Solve: x² – 11/4x + 15/8 = 0

Solution 4: x² – 11/4x + 15 = 0
⇒ {(8x² - 22x + 15)/8} = 0
⇒ 8x² - 22x + 15 = 0
⇒ 8x² - 12x - 10x + 15 = 0
⇒ 4x(2x - 3) - 5(2x - 3) = 0
⇒ (2x - 3)(4x - 5) = 0
⇒  2x – 3 = 0 or 4x – 5 = 0
⇒  x = 3/2  or x = 5/4

Question 5:  x + 4/x = - 4; x ≠ 0

Solution 5:
 x + 4/x = -4;
⇒ {(x² + 4)/x} = - 4
⇒ x² + 4 = - 4x
⇒ x² + 4x + 4 = 0
⇒ (x + 2)² = 0
⇒ x + 2 = 0
⇒ x = -2

Question 6: Solve: 2x⁴ - 5x² + 3 = 0 

Solution 6: 2x⁴ – 5x² + 3 = 0
⇒ 2x⁴ - 3x² - 2x² + 3 = 0
⇒ x²(2x² - 3) - 1(2x² - 3) = 0
⇒ (2x² - 3)(x² - 1) = 0
If  2x² – 3 = 0 or  x² - 1 = 0
then x²  or  x² = 1
⇒ x = ± √3/√2   or  x = ± 1

Question 7: Solve: x⁴ - 2x² - 3 = 0. 

Solution 7: x⁴ - 2x² – 3 = 0
⇒ x⁴ - 3x² + x² - 3 = 0
⇒ x²(x² – 3) + 1(x² - 3) = 0
⇒ (x² - 3)(x² + 1) = 0
If  (x² – 3) = 0 or  x² + 1 = 0
then x² = 3 or x²  = -1(reject)
⇒ x = ± √3

Question 8: Solve: 9(x² + 1/x²) – 9(x + 1/x) – 52 = 0

Solution 8:
9(x² + 1/x²) - 9(x + 1/x) – 52 = 0
Let (x + 1/x) = y
squaring on both sides
x² + 1/x² + 2 = y²
⇒ (x² + 1/x²) = y² – 2
Putting these values in the given equation
9(y² - 2) – 9y - 52 = 0
⇒ 9y² - 18 – 9y - 52 = 0
⇒ 9y² - 9y - 70 = 0
⇒ 9y² - 30y + 21y - 70 = 0
⇒ 3y(3y - 10) + 7(3y - 10) = 0
⇒ (3y - 10) (3y + 7) = 0
⇒ 3y – 10 = 0 or  3y + 7 = 0
⇒ y = 10/3 or y = -7/3
⇒ (x + 1/x)  = 10/3 or (x + 1/x) = -7/3
⇒ (x² + 1)/x = 10/3 or (x² + 1)/x = -7/3
⇒ 3x² - 10x + 3 = 0 or 3x² + 7x + 3 = 0
⇒  3x² – 9x – x + 3 = 0
or

⇒ 3x(x – 3) – 1(x – 3) = 0 or x = (-7 ± √13)/6

⇒ (x – 3)(3x – 1) = 0
⇒ x = 3 and x = 1/3

Question 9: Solve: 2(x² + 1/x²) - (x + 1/x) = 11

Solution 9:
2(x²  + 1/x²) – (x + 1/x) = 11
Let (x + 1/x) = y
squaring on both sides
 x²  + 1/x²  + 2 = y²
⇒  x²  + 1/x²  = y²  – 2
Putting these values in the given equation
2(y²  - 2) - y = 11
⇒ 2y² – 4 – y - 11 = 0
⇒ 2y² – y – 15 = 0
⇒ 2y² - 6y + 5y -15 = 0
⇒ 2y(y - 3) + 5(y - 3) = 0
⇒  (y - 3)(2y + 5) = 0
If  y – 3 = 0  or   2y + 5 = 0
then, y = 3  or  y = -5/2
⇒  x + 1/x = 3 or  (x + 1/x) = -5/2
⇒  (x²  + 1)/x = 3 or (x²  + 1)/x = -5/2
⇒  x²  – 3x + 1 = 0 or  2x²  + 5x + 2 = 0

or 2x²  + 4x + x + 2 = 0

⇒  x = (-3 ± √5)/2

or, 2x(x + 2) + 1(x + 2) = 0
or, (x + 2)(2x + 1) = 0
then x = -2 and x = -1/2

Question 10: Solve: (x² – 1/x²) - 3(x – 1/x) – 2 = 0

Solution 10:  (x² + 1/x²) - 3(x – 1/x) – 2 = 0
Let   (x – 1/x) = y
squaring on both sides
(x² + 1/x²) – 2 = y²
⇒ (x² + 1/x²) = y² + 2
Puting these values in the given equation
(y² + 2) - 3y - 2 = 0
⇒ y² - 3y = 0
⇒ y(y - 3) = 0

If  y = 0 or y – 3 = 0
then y = 0 or y = 3
⇒ (x – 1/x) = 0 or (x – 1/x) = 3
⇒ (x² – 1)/x = 0 or (x² – 1)x = 3
⇒ x² - 1 = 0 or x² – 3x – 1 = 0
⇒ (x + 1)(x – 1) = 0       
or

⇒ x = -1 and x = 1 or x = (3 ± √13)/2